10.14489/vkit.2023.08.рр.003-010

DOI: 10.14489/vkit.2023.08.рр.003-010

Елисеев А. А., Маврин С. В., Трищенков А. В., Уразов А. В.
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЛИПСА ПО ДВУМ КАСАТЕЛЬНЫМ
(c. 3-10)

Аннотация. При разработке конструкторских систем автоматизированного проектирования возникает задача построения эллипса. Рассматривается решение этой задачи по двум заданным касательным и координатам центра эллипса. При анализе достаточности полноты исходных данных выполняется симметричное отображение заданных прямых относительно центра эллипса, что приводит к получению параллелограмма с вписанным в него эллипсом. Последующее аффинное преобразование отображает параллелограмм в квадрат с вписанным в него эллипсом. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о неполноте исходных данных и необходимости дополнения исходных данных координатой точки касания эллипса с одной из прямых. При построении эллипса по дополненным исходным данным с использованием прямого и обратного аффинного преобразований определяются точки, через которые должен проходить эллипс, и уравнения касательных в этих точках. Это позволяет составить систему линейных уравнений, неизвестными в которой являются коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка. Полученное решение анализируется по классификации кривых второго порядка на принадлежность к действительному эллипсу. Выполнено сравнение предлагаемого метода с известным проективно-графическим методом решения этой же задачи.

Ключевые слова: эллипс; аффинное преобразование; кривая второго порядка; CAD-системы; геометрическое ядро.

Eliseev A. A., Mavrin S. V., Trishchenkov A. V., Urazov A. V.
ANALYSIS OF THE PROBLEM OF CONSTRUCTING AN ELIPSE FROM TWO TANGENTS
(рр. 3-10)

Abstract. This article discusses the problem of constructing an ellipse by two given tangents and the coordinates of the center of the ellipse, which arises in the development of CAD design systems. When analyzing the sufficiency of the completeness of the initial data, a symmetrical display of the given lines relative to the center of the ellipse is performed, which leads to a parallelogram with an ellipse inscribed in it. The subsequent affine transformation maps the parallelogram into a square with an ellipse inscribed in it. The analysis of the obtained results allows us to conclude that the initial data are incomplete and it is necessary to supplement the initial data with the coordinate of the point of contact of the ellipse with one of the straight lines. When constructing an ellipse from the supplemented initial data, using direct and inverse affine transformations, the points through which the ellipse must pass and the equations of tangents at these points are determined. This makes it possible to compose a system of linear equations in which the unknowns are the coefficients of the general equation of the second-order curve. The resulting solution is analyzed according to the classification of second-order curves for belonging to a real ellipse. The proposed method is compared with the well-known projective-graphical method for solving the same problem.

Keywords: Ellipse; Affine transformation; Second order curve; CAD systems; Geometric kernel.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

А. А. Елисеев, С. В. Маврин, А. В. Трищенков, А. В. Уразов (Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, Саров, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

A. A. Eliseev, S. V. Mavrin, A. V. Trishchenkov, A. V. Urazov (Russian Federal Nuclear Center – All-Russian Research Institute of Experimental Physics, Sarov, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Characteristics of 3D Solid Modeling Software Libraries for Non-Manifold Modeling / A. Chatzivasileiadi, N. M. Wardhana, W. Jabi et al. // Computer-Aided Design & Applications. 2019. V. 16(3). P. 496–518.
2. Ушаков Д. Геометрические ядра в мире и в России [Электронный ресурс]. URL: https://isicad.ru/ ru/articles.php?article_num=15185 (дата обращения: 02.05.2023).
3. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982. 304 с.
4. Короткий В. А. Графоаналитический способ построения коробковой линии кривых второго порядка // Вестник ЮУрГУ. 2011. № 35. С. 54–58.
5. Короткий В. А. Проективное построение коники. Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. 94 с.
6. Короткий В. А. Формообразование линий и поверхностей на основе кривых второго порядка в компьютерном геометрическом моделировании: дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01. Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, 2018. 323 с.
7. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. М.: Наука, 1968. 911 с.
8. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: учеб. пособие. М.: Наука, 1990. 672 с.
9. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.: МЦНМО, 2021. 152 с.
10. Equation for an Ellipse from 2 Points and Their Tangents [Электронный ресурс]. URL: https://math.stackexchange.com/questions/1885315 (дата обращения: 03.08.2022).
11. Find Equation of Ellipse Given Two Tangent Lines at Given Points and a Point on Ellipse [Электронный ресурс]. URL: https://math.stackexchange.com/ questions/1125874 (дата обращения: 03.08.2022).
12. Given an Ellipse and a Reference Point, How to Find the Two Lines that Are Tangent to the Ellipse? [Электронный ресурс]. URL: https://math.stackex change.com/questions/4361439 (дата обращения: 03.08.2022).
13. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: учеб. для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 224 с.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с.
15. Кокстер Х. С. М. Действительная проективная плоскость. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 280 с.

Eng

1. Chatzivasileiadi A., Wardhana N. M., Jabi W. et al. (2019). Characteristics of 3D Solid Modeling Software Libraries for Non-Manifold Modeling. Computer-Aided Design & Applications, Vol. 16 (3), pp. 496–518.
2. Ushakov D. Geometric kernels in the world and in Russia. Available at: https://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=15185 (Accessed: 02.05.2023). [in Russian language]
3. Foks A., Pratt M. (1982). Computational geometry. Moscow: Mir. [in Russian language]
4. Korotkiy V. A. (2011). Graph-analytical method for constructing a box line of curves of the second order. Vestnik YuUrGU, 35, pp. 54–58. [in Russian language]
5. Korotkiy V. A. (2010). Projective construction of a conic. Chelyabinsk: Izdatel'skiy tsentr YuUrGU. [in Russian language]
6. Korotkiy V. A. (2018). Shaping lines and surfaces based on second-order curves in computer geometric modeling. Nizhniy Novgorod: Nizhegorodskiy gosudarstvenniy arhitekturno-stroitel'niy universitet. [in Russian language]
7. Aleksandrov P. S. (1968). Lectures on analytic geometry, supplemented with the necessary information from algebra. Moscow: Nauka. [in Russian language]
8. Aleksandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. (1990). Geometry: textbook. Moscow: Nauka. [in Russian language]
9. Akopyan A. V., Zaslavskiy A. A. (2021). Geometric properties of curves of the second order. Moscow: MTsNMO. [in Russian language]
10. Equation for an Ellipse from 2 Points and Their Tangents. Available at: https://math.stackexchange.com/questions/1885315 (Accessed: 03.08.2022).
11. Find Equation of Ellipse Given Two Tangent Lines at Given Points and a Point on Ellipse. Available at: https://math.stackexchange.com/questions/1125874 (Accessed: 03.08.2022).
12. Given an Ellipse and a Reference Point, How to Find the Two Lines that Are Tangent to the Ellipse? Available at: https://math.stackexchange.com/questions/4361439 (Accessed: 03.08.2022).
13. Il'in V. A., Poznyak E. G. (2004). Analytical geometry: textbook for universities. Moscow: FIZMATLIT. [in Russian language]
14. Korn G., Korn T. (1974). Handbook of mathematics. Moscow: Nauka. [in Russian language]
15. Kokster H. S. M. (1959). Real projective plane. Moscow: Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoy literatury. [in Russian language]

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2023.08.рр.003-010

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2023.08.рр.003-010

and fill out the form