| Русский Русский | English English |
   
Главная Архив номеров
31 | 10 | 2020
10.14489/vkit.2017.06.pp.017-024

DOI: 10.14489/vkit.2017.06.pp.017-024

Тихомирова Т. А., Надыкто А. Б., Назаренко К. М.
ТОНАЛИ: АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОПОДОБИЯ
(c. 17-24)

Аннотация. Введено понятие тоналя – универсального базиса, присоединяемого к вектору размерности 2n на основе соотношений перестановочной симметрии его компонент. Даны описания структуры и свойств тоналей. Показана их  связь с комплексными числами, кватернионами и октавами. Рассмотрены принципы применения тоналей для представления отношений геометрического самоподобия при интерполяции и скейлинге полигональных моделей кривых, поверхностей и тел, вложенных в многомерные пространства.

Ключевые слова: векторная алгебра; многомерные пространства; самоподобие; полигональные модели поверхностей; фрактальная интерполяция; текстура; скейлинг. 

 

Tikhomirova T. A., Nadykto A. B., Nazarenko K. M.
TONALS: ALGEBRA AND GEOMETRY OF SELF SIMILARITY
(pp. 17-24)

Abstract. A new computationally efficient mathematical framework for self-similarity based (fractal) interpolation and scaling of polygonal meshes has been developed. A new concept of a tonal as a universal basis that can be symmetrically attached to an arbitrary vector of dimension 2n has been introduced. A tonal basis consists of vectors created by pairwise permutations of components of the reference vector. In low dimensional spaces (n < 4) tonals are equivalent to the matrix representation of complex numbers, quaternions and octaves. At n ≥ 3 a distinctive feature of tonals is the presence of side diagonals (overtones) in their cross-correlation matrix. The overtones are arranged with a pitch of 8 elements relative to the main diagonal, and their amplitudes are equal to autocorrelation of the reference vector with a cyclic shift by an integer number of octaves. Such a structure of overtones provides the two key advantages of tonals in comparison with other types of attached bases. First of all, it essentially simplifies the algorithm for tonal “inversion”, and hence, calculations of similarity relations for vectors in high dimensional spaces. Secondly, it yields to simple and efficient representation of graphic primitives, such as polygons and polytopes, initially defined in low dimensional space (n ≤ 2), as a single vector of a larger dimension space, so that the amplitudes of the overtones on the regular meshes (square, cubic, etc.) would be minimal. It has been shown that such a representation provides a greater stability of fractal interpolation and scaling algorithms compared to earlier ones. Several examples of fractal synthesis of curves and surfaces from low order polygonal meshes have been presented to illustrate the key advantages of the developed mathematical framework and concept of tonals.

Keywords: Vector algebra; Multidimensional spaces; Self-similarity; Polygonal surface models; Fractal interpolation; Texture; Scaling.

Рус

Т. А. Тихомирова (ФГУП «Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем» ГНЦ РФ, Москва, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
А. Б. Надыкто, К. М. Назаренко (Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», Москва, Россия)

 

Eng

T. A. Tikhomirova (State Research Institute of Aviation Systems State Scientific Center of Russian Federation, Moscow, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
A. B. Nadykto, K. M. Nazarenko (Moscow State University of Technology “STANKIN”, Moscow, Russia)

 

Рус

1. Тихомирова Т. А., Назаренко К. М., Кириллова Л. Н. Фрактальная интерполяция текстуры поверхностей // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2016. № 4. С. 38 – 45. doi: 10.14489/vkit. 2016.04.pp.038-045.

Eng

1. Tikhomirova T. A., Nazarenko K. M., Kirillova L. N. (2016). Fractal interpolation of surface texture. Vestnik komp'iuternykh i informatsionnykh tekhnologii, (4), pp. 38-45. doi: 10.14489/vkit. 2016.04.pp.038-045. [in Russian language].

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 350 руб. (в том числе НДС 18%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2017.06.pp.017-024

и заполните  ФОРМУ 

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

.

Eng

This article  is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 350 rubles. (including VAT 18%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2017.06.pp.017-024

and fill out the  FORM  

.

 

 

 
Поиск
Баннер
Баннер
Журнал КОНТРОЛЬ. ДИАГНОСТИКА
Баннер
Баннер
Rambler's Top100 Яндекс цитирования